【題目】如圖,四邊形是正方形,平面,,,,, 分別為,,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】
試題(1)利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明證線(xiàn)線(xiàn)垂直,只需要證明直線(xiàn)的方向向量垂直;(3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4)空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn):一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo),準(zhǔn)確運(yùn)算;二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.
試題解析:(1)證明:,分別為,的中點(diǎn),
.
又平面,平面,
平面.
(2)解:平面,,平面
平面,.
四邊形是正方形,.
以為原點(diǎn),分別以直線(xiàn)為軸, 軸,軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,
,,,,,,
,.
,, 分別為,,的中點(diǎn),
,,,,
(解法一)設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,
即,令,得.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,
即,令,得.
所以==.
所以平面與平面所成銳二面角的大小為(或)
(解法二),,
是平面一個(gè)法向量.
,,
是平面平面一個(gè)法向量.
平面與平面所成銳二面角的大小為(或).
(解法三)延長(zhǎng)到使得連
,,
四邊形是平行四邊形,
四邊形是正方形,
,分別為,的中點(diǎn),
平面,平面, 平面.
平面平面平面
故平面與平面所成銳二面角與二面角相等.
平面平面
平面是二面角的平面角.
平面與平面所成銳二面角的大小為(或).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某工廠(chǎng)生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16件零件,測(cè)量其內(nèi)徑數(shù)據(jù)從小到大依次排列如下:1.12,1.25,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42.據(jù)此可估計(jì)該生產(chǎn)線(xiàn)上大約有25%的零件內(nèi)徑小于等于___________㎜,大約有30%的零件內(nèi)徑大于___________mm(單位:mm).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f (x)=ln x-x+1.
(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性;
(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí), ;
(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿(mǎn)足(1)對(duì)于定義域上的任意,恒有;(2)對(duì)于定義域上的任意當(dāng)時(shí),恒有,則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”,給出下列四個(gè)函數(shù)中:① ; ② ;③;④,則被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有( )
A.①B.②④C.③D.④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若方程兩個(gè)根之和為4,兩根之積為3,且過(guò)點(diǎn)(2,-1).求的解集;
(2)若關(guān)于的不等式的解集為.
(ⅰ)求解關(guān)于的不等式
(ⅱ)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)圓上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn),過(guò)點(diǎn)作切線(xiàn)的垂線(xiàn),若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程;
(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上,且,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某親子游戲結(jié)束時(shí)有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:盒子里面共有5個(gè)小球,小球上分別寫(xiě)有0,1,2,3,4的數(shù)字,小球除數(shù)字外其它完全相同,每對(duì)親子中,家長(zhǎng)先從盒子中取出一個(gè)小球,記下數(shù)字后將小球放回,孩子再?gòu)暮凶又腥〕鲆粋(gè)小球,記下小球上數(shù)字將小球放回.抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則是:①若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積大于8,則獎(jiǎng)勵(lì)飛機(jī)玩具一個(gè);②若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積在區(qū)間上,則獎(jiǎng)勵(lì)汽車(chē)玩具一個(gè);③若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積小于2,則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
(1)求每對(duì)親子獲得飛機(jī)玩具的概率;
(2)試比較每對(duì)親子獲得汽車(chē)玩具與獲得飲料的概率,哪個(gè)更大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司試銷(xiāo)一種成本單價(jià)為500元的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià),又不高于800元.經(jīng)試銷(xiāo)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),函數(shù)圖象如圖所示.
(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的表達(dá)式;
(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)-成本總價(jià))為S元.試問(wèn)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí),該公司可獲得最大毛利潤(rùn)?最大毛利潤(rùn)是多少?此時(shí)的銷(xiāo)售量是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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