Question

【題目】設(shè)函數(shù)f (x)＝ln x－x＋1.

(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；

(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)， ；

(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間； （2）原不等式等價(jià)于，運(yùn)用（1）的單調(diào)性可得，設(shè)，求出單調(diào)性，即可得到成立；（3）設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，可令，由， 可得，由（1）可得有一解，設(shè)為是的最小值點(diǎn)，運(yùn)用最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證，

試題解析：(1)解　由f (x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f ′(x)＝－1.

令f ′(x)＝0，解得x＝1.

當(dāng)0<x<1時(shí)，f ′(x)>0，f (x)單調(diào)遞增.

當(dāng)x>1時(shí)，f ′(x)<0，f (x)單調(diào)遞減.

因此f (x)在(0，1)上是增函數(shù)，在x∈(1，＋∞)上為減函數(shù).

(2)證明　由(1)知，函數(shù)f (x)在x＝1處取得最大值f (1)＝0.

∴當(dāng)x≠1時(shí)，ln x<x－1.

故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，ln x<x－1，ln<－1，即1<<x.

(3)證明　由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

則g′(x)＝c－1－cxln c.

令g′(x)＝0，解得x0＝.

當(dāng)x<x0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.

由(2)知1<<c，故0<x0<1.

又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0.

∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.