Question

19．某單位利用周末時(shí)間組織員工進(jìn)行一次“健康之路，攜手共筑”徒步走健身活動(dòng)，有n人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知[35，40）之間的參加者有8人．
（1）求n的值并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）已知[30，40）歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取5人作為活動(dòng)的組織者，其中選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡在[30，35）歲的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）先求出年齡在[35，40）之間的頻率，由此能求出n，從而能求出第二組的頻率，進(jìn)而能求出第二組的矩形高，由此能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）由（1）知，[30，35）之間的人數(shù)為12，又[35，40）之間的人數(shù)為8，采用分層抽樣抽取5人，其中[30，35）歲中有3人，[35，40）歲中有2人，由題意，隨機(jī)變量ξ的甩有可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）年齡在[35，40）之間的頻率為0.04×5=0.2，
∵$\frac{8}{n}$=0.2，∴n=$\frac{8}{0.2}$=40，
∵第二組的頻率為：
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴第二組的矩形高為：$\frac{0.3}{5}$=0.06，
∴頻率分布直方圖如右圖所示．
（2）由（1）知，[30，35）之間的人數(shù)為0.06×5×40=12，
又[35，40）之間的人數(shù)為8，
∵[30，35）歲年齡段人數(shù)與[35，40）歲年齡段人數(shù)的比值為12：8=3：2，
∴采用分層抽樣抽取5人，其中[30，35）歲中有3人，[35，40）歲中有2人，
由題意，隨機(jī)變量ξ的甩有可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．