Question

10．隨著2022年北京冬奧會(huì)的成功申辦，冰雪項(xiàng)目已經(jīng)成為北京市民冬季休閑娛樂的重要方式．為普及冰雪運(yùn)動(dòng)，寒假期間學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生參加冬令營(yíng)．其中一班有3名男生和1名女生參加，二班有2名男生和2名女生參加．活動(dòng)結(jié)束時(shí)，要從參加冬令營(yíng)的學(xué)生中選出部分學(xué)生進(jìn)行展示．
（Ⅰ）若要從參加冬令營(yíng)的這8名學(xué)生中任選4名，求選出的4名學(xué)生中有女生的概率；
（Ⅱ）若要從一班和二班參加冬令營(yíng)的學(xué)生中各任選2名，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的女生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從參加冬令營(yíng)的8名學(xué)生中任選4名，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出有女生的概率．
（Ⅱ）由題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）從參加冬令營(yíng)的8名學(xué)生中任選4名，有女生的概率為：
p=1-$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{13}{14}$．
（Ⅱ）由題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

EX=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}$+$2×\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．