Question

在平面斜坐標(biāo)系xOy中，x軸方向水平向右，y軸指向左上方，且∠xOy=

2π

3

．平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)是這樣定義的：若

OP

=x

e1

+y

e2

（其中向量

e1

，

e2

分別為x軸、y軸同方向的單位向量），則P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為（x，y）．
（1）若P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），則P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為

 

；
（2）以O(shè)為頂點(diǎn)，直角坐標(biāo)F（1，0）為焦點(diǎn)，x軸為對稱軸的拋物線在斜坐標(biāo)系xOy中的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)系的選擇及意義

專題：平面向量及應(yīng)用,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）如圖所示，拋物線在直角坐標(biāo)系xoy′中的方程為：（y′）²=4x′．設(shè)點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xoy與直角坐標(biāo)系xoy′中的坐標(biāo)分別為P（x′，y′），P（x，y）．則

x′=x y′=ysin 2π 3

，代入方程（y′）²=4x′即可得出．

解答： 解：（1）|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

•

e2

=1×1×cos

2π

3

=-

1

2

．
∵P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），∴

OP

=2

e1

+2

e2

，
∴

OP

2=4

e1

2+4

e2

2+8

e1

•

e2

=8-8×

1

2

=4，∴|

OP

|=2．
（2）如圖所示，
拋物線在直角坐標(biāo)系xoy′中的方程為：（y′）²=4x′．
設(shè)點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xoy與直角坐標(biāo)系xoy′中的坐標(biāo)分別為P（x′，y′），
P（x，y）．
則

x′=x y′=ysin 2π 3

，代入方程：（y′）²=4x′．
化為

3

4

y2=4x，化為y2=

16

3

x．
故答案分別為：2，y2=

16

3

x．

點(diǎn)評：本題考查了斜坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．