Question

15．某校一個校園景觀的主題為“托起明天的太陽”，其主體是一個半徑為5米的球體，需設(shè)計一個透明的支撐物將其托起，該支撐物為等邊圓柱形的側(cè)面，厚度忽略不計．軸截面如圖所示，設(shè)∠OAB=α．（注：底面直徑和高相等的圓柱叫做等邊圓柱．）
（1）用α表示圓柱的高；
（2）實踐表明，當(dāng)球心O和圓柱底面圓周上的點D的距離達到最大時，景觀的觀賞效果最佳，求此時α的值．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥AB于點M，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得：AM=OAcosα=5cosα，由已知可得四邊形ABCD為正方形，即可得出．
（2）由余弦定理得：$O{D^2}={5^2}+{（10cosα）^2}-2×5×（10cosα）cos（\frac{π}{2}+α）$，利用倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）作OM⊥AB于點M，則在直角三角形OAM中，
因為∠OAB=α，
所以AM=OAcosα=5cosα，…（3分）
因為四邊形ABCD是等邊圓柱的軸截面，
所以四邊形ABCD為正方形，
所以AD=AB=2AM=10cosα． …（6分）
（2）由余弦定理得：$O{D^2}={5^2}+{（10cosα）^2}-2×5×（10cosα）cos（\frac{π}{2}+α）$…（8分）
=25+100cos²α+50sin2α
=25+50（1+cos2α）+50sin2α
=50（sin2α+cos2α）+75
=50$\sqrt{2}$sin$（2α+\frac{π}{4}）$+75．…（10分）
因為$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
所以當(dāng)2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{8}$時，OD²取得最大值$50\sqrt{2}+75$=$25{（\sqrt{2}+1）^2}$，…（12分）
所以當(dāng)α=$\frac{π}{8}$時，OD的最大值為$5（\sqrt{2}+1）$．
答：當(dāng)α=$\frac{π}{8}$時，觀賞效果最佳．          …（14分）

點評 本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、正方形的性質(zhì)、余弦定理、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．