Question

4．定義在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列兩個條件：
①對任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
②當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
已知函數(shù)y=f（x）的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個交點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2]
• C． [$\frac{4}{3}$，2）
• D． （$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因為f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)k的范圍即可．

解答 解：定義在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列兩個條件：
①對任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
②當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，
直線y=m（x-1）過定點M（1，0），畫出f（x）在（1，+∞）上的部分圖象如圖，得A（2，2）、B（4，4）．
又k_MB=$\frac{4}{3}$，k_MA=2．
由題意得f（x）=m（x-1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點重合但不能與A點重合）
分析圖象知，當(dāng)$\frac{4}{3}$≤m＜2時f（x）=m（x-1）有兩個不同的解．
故選：C．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．