Question

5．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F且傾斜角為45°的直線交C于A，B兩點，若以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長為16$\sqrt{3}$，則p的值為8．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，設出直線AB的方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和拋物線的定義，根據(jù)以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長為16$\sqrt{3}$，即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點F為（$\frac{p}{2}$，0），
設直線AB的方程為y-0=x-$\frac{p}{2}$，
即為y=x-$\frac{p}{2}$，代入拋物線的方程，可得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴y₁+y₂=2p
由拋物線的定義可得，|AB|=x₁+x₂+p=4p．
∵以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長為16$\sqrt{3}$，
∴4p²=（8$\sqrt{3}$）²+p²，∴p=8
故答案為：8．

點評 本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)的運用，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．