15.已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達(dá)式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式.

分析 (1)利用Sn-1=an,代入計(jì)算,可得結(jié)論,猜想an=5×2n-2(n≥2,n∈N*).
(2)用歸納法進(jìn)行證明,檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立,假設(shè)n=k時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

解答 解:(1)a2=S1=a1=5,
a3=S2=a1+a2=10,
a4=S3=a1+a2+a3=20.
猜想:an=5•2n-2(n≥2,n∈N*).
(2)當(dāng)n=2時(shí),a2=5×20=5,結(jié)論成立.
假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=5•2k-2
則ak+1=Sk=a1+a2+a3+a4+…+ak=5+5+10+…+5×2k-2=5+$\frac{5(1-{2}^{k-1})}{1-2}$=5×2k-1
故n=k+1時(shí)猜想成立,
由①②可知對(duì)n≥2,n∈N*,an=5×2n-2,
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{5,n=1}\\{5•{2}^{n-2},n≥2}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查歸納法的證明,歸納法一般三個(gè)步驟:(1)驗(yàn)證n=1成立;(2)假設(shè)n=k成立;(3)利用已知條件證明n=k+1也成立,從而得證,這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線交C于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長為16$\sqrt{3}$,則p的值為8.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知函數(shù)f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( 。
A.90B.-96C.98D.-100

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,在拋物線C上取一點(diǎn)A,過A分別向x軸和準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為M,N,連接AF并延長交拋物線于另一點(diǎn)B,若$\sqrt{5}$AM=2AN,則線段AB的長為( 。
A.20B.40C.5D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.已知A船在燈塔C的北偏東80°處,且A船到燈塔C的距離為2km,B船在燈塔C的北偏西40°處,且B船到燈塔C的距離為1km,則A、B兩船間的距離為$\sqrt{7}$km.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.如圖,在各棱長均為2的正三棱錐A-BCD中,平面α與棱AB、AD、CD、BC分別相交于點(diǎn)E、F、G、H,則四邊形EFGH的周長的最小值是( 。
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x-2}}-3,x≥0\\ x+2,x<0\end{array}$,則f(3)=-1,若f(a)=1,則實(shí)數(shù)a=4或-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x,那么,不等式f(x)<3的解集是(-3,3).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足條件an+Sn=n2+3n,數(shù)列{bn}滿足條件bn=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,M為正整數(shù).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若數(shù)列{bn}的前2015項(xiàng)的和T2015≥M,求M的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案