Question

19．在△ABC中，已知tanA=2，tanB=3，∠A的對(duì)邊a=1．
（1）求∠C的大��；
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由tanA與tanB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA與cosA的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答 解：（1）∵tanA=2，tanB=3，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{2+3}{1-6}$=1，
∵tanC＜tanA＜tanB，
∴∠C＜∠A＜∠B，
則∠C=45°；
（2）∵tanA=2，tanB=3，
∴cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵a=1，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．