Question

已知連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)f（x）=

0(x＜1)  - 3 4 x2+3x-a (1≤x＜3)  0(x≥3)

，
（1）求常數(shù)a的值，并畫(huà)出ξ的概率密度曲線；
（2）求 P（ξ≤

3

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由連續(xù)型隨機(jī)變量性質(zhì)知

∫

3 1

(-

3

4

x2+3x-a)dx=1，由此能求出常數(shù)a的值，并畫(huà)出ξ的概率密度曲線．
（2）P(ξ≤

3

2

)=P（ξ＜1）+P(1≤ξ≤

3

2

)=0+

∫

3 2 1

(-

3

4

x2+3x-

9

4

)dx，由此能求出結(jié)果．

解答： （本題滿分10分）
解：（1）由連續(xù)型隨機(jī)變量性質(zhì)知：

∫

3 1

(-

3

4

x2+3x-a)dx=1
解得a=

9

4

，
ξ的概率密度曲線如右圖．…（5分）
（2）P(ξ≤

3

2

)=P（ξ＜1）+P(1≤ξ≤

3

2

)
=0+

∫

3 2 1

(-

3

4

x2+3x-

9

4

)dx
=-

3

4

∫

3 2 1

(x2-4x+3)dx
=

5

32

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查常數(shù)值的求法，考查ξ的概率密度曲線的畫(huà)法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意連續(xù)型隨機(jī)變量性質(zhì)和定積分的合理運(yùn)用．