Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ex

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若方程x-1-e^xm=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的值域,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

ex-ex(x-1)

e2x

=

2-x

ex

，由此能求出f（x）在[0，3]上的最值．
（2）m=

x-1

ex

，作出f（x）=

x-1

ex

的圖象，由此能求出m的取值范圍．
（3）設(shè)g（t）=

at-1

e2

-t，對(duì)于任意t∈[

1

2

，2]，有g(shù)（t）＞0恒成立，從而a＞

1

t

+et，設(shè)μ(t)=

1

t

+et，a要大于μ（t）的最大值，μ′(t)=-

1

t2

+et，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a＞

1

2

+e2．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x-1

ex

，
f′(x)=

ex-ex(x-1)

e2x

=

2-x

ex

，
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=2，
當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＜0．
∵f（0）=-1，f（2）=

1

e2

，f（3）=

2

e3

，
∴f（x）_min=f（0）=-1；
f（x）_max=f(2)=

1

e2

．
（2）∵x-1-e^xm=0，
∴m=

x-1

ex

，
對(duì)于f（x）=

x-1

ex

，圖象如右圖：
∴m∈（-∞，

1

e2

）．
（3）設(shè)g（t）=

at-1

e2

-t，即對(duì)于任意t∈[

1

2

，2]，有g(shù)（t）＞0恒成立，

at-1

et

-t＞0，

at-1-t•et

et

＞0，
即at-1-t•e^t＞0，at-1-t•e^t＞0，
at＞1+t•e^t，
∵t∈[

1

2

，2]，∴a＞

1

t

+et，
設(shè)μ(t)=

1

t

+et，
a要大于μ（t）的最大值，
μ′(t)=-

1

t2

+et，
令μ′（t）＞0，設(shè)t₀為-

1

t2

+et=0的根，
∵t∈[

1

2

，2]，∴t0∈(

1

2

，1)，
當(dāng)t＜t₀時(shí)，μ′（t）＜0，μ（t）是減函數(shù)；
當(dāng)t＞t₀時(shí)，h′（t）＞0，μ（t）是增函數(shù)，
∴在t=t₀時(shí)，取最小值，
∴在t=

1

2

或t=2處取最大值，
而μ(

1

2

)=2+

e

，μ(2)=

1

2

+e2，
∵h(yuǎn)（2）＞h（

1

2

），∴a＞

1

2

+e2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在[0，3]上的最值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．