Question

19．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosy，siny），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求cos（x-y）的值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)干y軸對稱，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）運用平方法，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，再由兩角的差的余弦公式，計算即可得到所求值；
（2）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，利用二倍角的正弦可得f（x）=2cosxsinx=sin2x，再利用三角函數(shù)的平移變換可得f（x+m）=sin（2x+2m），其圖象關(guān)于y軸對稱，可求得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又m＞0，從而可得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosy，siny），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可得$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow$²=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y），
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=$\frac{4}{5}$，即為1+1-2cos（x-y）=$\frac{4}{5}$，
解得cos（x-y）=$\frac{3}{5}$；
（2）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=cosxsinx+sinxcosx=sin2x，
∴f（x+m）=sin[2（x+m）]=sin（2x+2m），
∵y=sin（2x+2m）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴2m=kπ+$\frac{π}{2}$，∴m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又m＞0，
∴m_min=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查斜率的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，考查二倍角的正弦及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查余弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．