11.已知等比數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{2}$,公比q=$\frac{1}{2}$.
(1)Sn為{an}的前n項和;證明:Sn=1-an;
(2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求數(shù)列{bn}的通項公式.

分析 (1)分別由等比數(shù)列的通項公式和求和公式計算兩邊的式子,驗證可得;
(2)由(1)和對數(shù)的運算可得log2an=-n,可得bn=-(1+2+3+…+n),由等差數(shù)列的求和公式可得.

解答 (1)證明:∵等比數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{2}$,公比q=$\frac{1}{2}$,
∴Sn=$\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-($\frac{1}{2}$)n,1-an=1-$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$)n-1=1-($\frac{1}{2}$)n,
∴Sn=1-an;
(2)解:由(1)可知an=($\frac{1}{2}$)n,故log2an=-n,
∴bn=log2a1+log2a2+…+log2an=-1+(-2)+(-3)+…+(-n)
=-(1+2+3+…+n)=-$\frac{n(1+n)}{2}$.

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式,涉及等差數(shù)列的求和公式,屬基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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