Question

14．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱長都相等且∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，則下列結論錯誤的是（　　）

• A． $\overrightarrow{A{C_1}}$與平面A₁BD的法向量共線
• B． $\overrightarrow{A{C_1}}$與$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{D_{\;}}}$，$\overrightarrow{A{A_1}}$夾角互不相等
• C． $|{\overrightarrow{A{C_1}}}|$比$|{\overrightarrow{B{D_1}}}|$長
• D． $\overrightarrow{A{C_1}}$與$\overrightarrow{BC}$夾角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用向量數(shù)量積為0判斷A；根據(jù)對稱性說明B錯誤；設出平行六面體的棱長，求出兩向量的模說明C正確；求出兩向量夾角的正弦值說明D正確．

解答 解：如圖，

∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$•$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AD}$$-{\overrightarrow{AB}}^{2}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AB}$=0．
同理可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0$，∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$與平面A₁BD的法向量共線，A正確；
由對稱性可知，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$與$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{D_{\;}}}$，$\overrightarrow{A{A_1}}$夾角相等，B錯誤；
設棱長為a，則
$|\overrightarrow{A{C}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}$+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$）=3a²+3a²=6a²，
$|\overrightarrow{B{D}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}+2（\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AB}）$=2a²．
∴$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$比$|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$長，C正確；
$|\overrightarrow{D{C}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=3a²．
∴$D{C}_{1}=\sqrt{3}a$．
cos∠DAC₁=$\frac{6{a}^{2}+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×a×\sqrt{6}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴$sin∠DA{C}_{1}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故D正確．
故選：B．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用平面向量求解空間中的線面關系，考查了平面向量的加減法運算及數(shù)量積運算，是中檔題．