19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{{4}^{x}+m}(m>0)$,當(dāng)x1,x2∈R,且x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=$\frac{1}{2}$
(1)求m的值;
(2)設(shè)Sn=f($\frac{0}{n}$)+f($\frac{1}{n}$)$+f(\frac{2}{n})+…+f(\frac{n}{n})$,求Sn

分析 (1)由題意,可令x1=x2=$\frac{1}{2}$,代入函數(shù),計(jì)算即可得到m=2,檢驗(yàn)成立;
(2)由(1),運(yùn)用倒序相加求和方法,即可得到Sn

解答 解:(1)由題意,可令x1=x2=$\frac{1}{2}$,
則f(x1)=f(x2)=$\frac{1}{4}$,
即有$\frac{1}{{4}^{\frac{1}{2}}+m}$=$\frac{1}{4}$,解得m=2,
當(dāng)m=2時(shí),f(x)=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$,
x1+x2=1時(shí),有f(x1)+f(x2)=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+2}$
=$\frac{4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+4+2({4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}})}$=$\frac{4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}}{2(4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}})}$=$\frac{1}{2}$,
故m=2;
(2)Sn=f($\frac{0}{n}$)+f($\frac{1}{n}$)$+f(\frac{2}{n})+…+f(\frac{n}{n})$,①
Sn=f($\frac{n}{n}$)+f($\frac{n-1}{n}$)+…+f($\frac{0}{n}$),②
由x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=$\frac{1}{2}$,
則①+②,可得
2Sn=[f($\frac{0}{n}$)+f($\frac{n}{n}$)]+[f($\frac{1}{n}$)+f($\frac{n-1}{n}$)]+…+[f($\frac{n}{n}$)+f($\frac{0}{n}$)]
=$\frac{1}{2}$(n+1),
即有Sn=$\frac{n+1}{4}$.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的求值,主要考查數(shù)列的求和方法:倒序相加求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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