Question

10．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
A．設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線
B．過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標(biāo)原點，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動點P的軌跡為圓
C．0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1與C₂：$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的離心率相同
D．已知兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動點P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點P的軌跡關(guān)于原點對稱
其中真命題的序號為B．C．D（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 A．利用雙曲線的定義判斷正誤即可；
B．定圓C和定點A具體化，利用向量間的關(guān)系求出點B和點P的坐標(biāo)間的關(guān)系，再利用B在圓上就可求出動點P的軌跡，然后在下結(jié)論即可．
C．求出離心率，即可判斷；
D．化簡整理，即可分析其正誤．

解答 解：A．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．故A錯誤，
B．設(shè)定圓C的方程為x²+y²=9，點A（3，0），B（a，b），點P（x，y），
則由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$得動點P為動弦AB的中點，所以有$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+3}{2}}\\{y=\frac{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2x-3}\\{b=2y}\end{array}\right.$
又因為點B在圓上所以有（2x-3）²+（2y）²=9，即（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，即動點P的軌跡為圓．故B正確，
C．若0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1中，a=cosθ，b=sinθ，c=1，則離心率為$\frac{c}{a}=\frac{1}{cosθ}$
C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1中，a=sinθ，b=sinθtanθ，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=tanθ，則離心率為$\frac{c}{a}$=$\frac{tanθ}{sinθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，則離心率相同，故C正確；

D．設(shè)P（x，y）為曲線|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上任意一點，
則P（x，y）關(guān)于原點（0，0）的對稱點為P′（-x，-y），
∵$\sqrt{（-x+1）^{2}+（-y）^{2}}$•$\sqrt{（-x-1）^{2}+（-y）^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上，
∴點P的軌跡曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）關(guān)于原點對稱，故D正確，
故答案為：B．C．D

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查圓錐曲線的概念及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．