Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=-3處取得極值，且f（1）=-5
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a至少有兩個(gè)不同實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b，c的方程，解出即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，集合函數(shù)在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，得到不等式，解出即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，畫出草圖求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c=0，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-3）=27a-6b+c=0}\\{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f（1）=a+b+c=-5}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=3，c=-9，
∴f（x）=x³+3x²-9x；
（2）f′（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=3（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）遞增，在（-3，1）遞減，
若在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，
則m+1≤-3或m≥1，解得：m≤-4或m≥1；
（3）由（2）得：函數(shù)f（x）在x=-3時(shí)，取得極大值27，在x=1時(shí)取得極小值-5，
若關(guān)于x的方程f（x）=a至少有兩個(gè)不同實(shí)根，
則函數(shù)f（x）和函數(shù)y=a至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴a∈[-5，27]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．