Question

5．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E為棱AB上的一動點．
（1）若E為棱AB的中點，
①求四棱錐B₁-BCDE的體積   
②求證：面B₁DC⊥面B₁DE
（2）若BC₁∥面B₁DE，求證：E為棱AB的中點．

Answer 1

分析 （1）①四棱錐B₁-BCDE的底面為直角梯形BEDC，棱錐的高為B₁B，代入體積公式即可；
②面B₁DC∩面B₁DE=B₁D，故只需在平面B₁DE找到垂直于交線B₁D的直線即可，由DE=B₁E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a可易知所找直線為等腰△EB₁D底邊中線；
（2）輔助線同上，由中位線定理可得OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，從而得出OF∥EB，由BC₁∥面B₁DE可得EO∥B₁C，故四邊形OEBF是平行四邊形，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）①∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁∴B₁B平面BEDC，
∴V${\;}_{棱錐{B}_{1}-BCDE}$=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCDE•B₁B=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}a$）•a•a=$\frac{{a}^{3}}{4}$．
②取B₁D的中點O，設(shè)BC₁∩B₁C=F，連接OF，
∵O，F(xiàn)分別是B₁D與B₁C的中點，∴OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵E為AB中點，∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF∥EB，OF=EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，
∴OE∥BF，
∵DC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴BC₁⊥DC，∴OE⊥DC．
又BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，
又∵DC?平面B₁DC，B₁C?平面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴OE⊥平面B₁DC，
又∵OE?平面B₁DE，
∴平面B₁DC⊥面B₁DE．
（2）同上可證得，OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵EB∥DC，∴OF∥EB，
∴E，B，F(xiàn)，O四點共面．
∵BC₁∥平面B₁DE，B₁C?平面EBFO，平面EBFO∩平面B₁DE=OE，
∴EO∥B₁C，
∴四邊形OEBF是平行四邊形，∴OF=EB=$\frac{1}{2}$DC∴EB=$\frac{1}{2}$AB，
∴E為棱AB的中點．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定和幾何體體積，根據(jù)判定定理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．