Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{10}{3}$，若c_n=$\frac{f（n）}{g（n）}$，則數(shù)列{nc_n}的前n項和S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，結(jié)合題中等式建立關(guān)于a的方程：a+$\frac{1}{a}$=$\frac{10}{3}$，解之得a=3或$\frac{1}{3}$．再根據(jù)f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可證出y=a^x是R上的增函數(shù)，得a＞1，由此可得a=3，求得nc_n=n•3ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，∴$\frac{f（1）}{g（1）}$=a，$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{1}{a}$，
因此$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{10}{3}$，即a+$\frac{1}{a}$=$\frac{10}{3}$．
解之得a=3或$\frac{1}{3}$．
設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，則F'（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$，
∵f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），
∴F'（x）＞0在R上成立，故F（x）是R上的增函數(shù)．
即y=a^x是R上的增函數(shù)，故a＞1．則有a=3．
c_n=$\frac{f（n）}{g（n）}$=3ⁿ，nc_n=n•3ⁿ，
則前n項和S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．
故答案為：$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及導數(shù)的運算法則的逆用，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．