Question

已知函數(shù)，，其中．   

（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在，對任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因    ……1分

， ∵在區(qū)間上單調(diào)     

恒成立   ……2分

   恒成立

設(shè)

令有，記 

由函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……4分

∴，于是   ……5分

∴                    ……6分

（2）當(dāng)時有；   ……7分

當(dāng)時有，因?yàn)楫?dāng)時不合題意，因此，……8分

下面討論的情形，

記  求得  A，B=

（�。┊�(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有   ……9分

（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此    ……11分

綜合（�。�（ⅱ）       ……12分

當(dāng)時A=B，則，即使得成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811304018039849/SYS201209081131128169548876_DA.files/image030.png">在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；…13分

同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，

所以滿足題意.   …14分

【解析】本試題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，則可以利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍，

（2）分別分析函數(shù)f(x)和g(x)的性質(zhì)得到單調(diào)性，進(jìn)而確定是否存在點(diǎn)滿足已知條件來求解得到。