Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，△CDF₂的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓E交于A，B且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求證原點(diǎn)O到直線l的距離為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁，F(xiàn)₂是橢圓左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，△CDF₂的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，得x₁²-y₁²=0，從而求出原點(diǎn)O到直線l的距離為d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
△CDF₂的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=8}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
證明：（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵3x₁²+4y₁²=12，∴|x₁|=|y₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴原點(diǎn)O到直線l的距離為d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，
消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0
∴7m²=12（k²+1）
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{\frac{7{m}^{2}}{12}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、向量數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．