Question

15．已知雙曲線C的頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8，離心率$e=\frac{5}{4}$．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）過點P（3，0）且斜率為k的直線與雙曲線C有且僅有一個公共點，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線方程的標準形式，利用代定系數(shù)法求解即可；
（2）把直線方程和曲線方程聯(lián)立得（9-16k²）x²+96k²x-144（k²+1）=0，對二次項系數(shù)分類討論，再結合二次函數(shù)的性質求解．

解答 解：（1）設雙曲線C的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
∴2a=8，$\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$
所以a=4，c=5，b=3，
∴雙曲線C的標準方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
（2）直線方程為y=k（x-3）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x-3）\end{array}\right.$得（9-16k²）x²+96k²x-144（k²+1）=0，
①9-16k²=0，即$k=\frac{3}{4}$或$k=-\frac{3}{4}$時，直線與雙曲線有且僅有一個公共點，
②9-16k²≠0，、
∴△=（96k²）²+4×144（9-16k²）（k²+1）=0，
∴7k²-9=0，
∴$k=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$或$k=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$…（9分）
綜上所述，$k=\frac{3}{4}$或$k=-\frac{3}{4}$或$k=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$或$k=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查了雙曲線標準方程的求解和直線與曲線的位置關系，屬于基礎題型，應熟練掌握．