Question

2．如圖，已知⊙C₁：（x+$\sqrt{6}$）²+y²=32及點(diǎn)C₂（$\sqrt{6}$，0），在⊙C₁上任取一點(diǎn)P，連結(jié)C₂P，作線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)P在⊙C₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)N為直線l：x=4上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OM⊥ON，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)MC₂，推導(dǎo)出點(diǎn)M軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4$\sqrt{2}$，2c=2$\sqrt{6}$，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），則y₁≠0，且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，當(dāng)x₁=0時(shí)，|MN|=3$\sqrt{2}$；當(dāng)x₁≠0時(shí)，N（4，-$\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}$），|MN|=$\sqrt{\frac{128}{{{y}_{1}}^{2}}-3{{y}_{1}}^{2}-40}$，設(shè)f（t）=$\frac{128}{t}-3t$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出|MN|的最小值．

解答 解：（1）連結(jié)MC₂，依題意有|MC₂|=|MP|，
∴|MC₂|+|MC₁|=|C₁P|=4$\sqrt{2}$，
由橢圓定義知，點(diǎn)M軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=4$\sqrt{2}$，2c=2$\sqrt{6}$，∴a=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2，
點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），則y₁≠0，且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，
①當(dāng)x₁=0時(shí)，${y}_{1}=±\sqrt{2}$，M（0，$±\sqrt{2}$），N（4，0），|MN|=3$\sqrt{2}$．
②當(dāng)x₁≠0時(shí)，${k}_{OM}=-\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$x，∴N（4，-$\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}$），
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-4）^{2}+（{y}_{1}+\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+\frac{16{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}+16}$
=$\sqrt{（8-4{{y}_{1}}^{2}）+{{y}_{1}}^{2}+\frac{16（8-4{{y}_{1}}^{2}）}{{{y}_{1}}^{2}}+16}$=$\sqrt{\frac{128}{{{y}_{1}}^{2}}-3{{y}_{1}}^{2}-40}$，
設(shè)f（t）=$\frac{128}{t}-3t$，則${f}^{'}（t）=-\frac{128}{{t}^{2}}-3＜0$，
∴f（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴由0＜${{y}_{1}}^{2}＜2$，得|MN|＞$\sqrt{\frac{128}{2}-3×2-40}$=3$\sqrt{2}$，
由①②知，當(dāng)y₁=$±\sqrt{2}$時(shí)，|MN|的最小值為3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查線段長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．