Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²（e^x+e^-x）-（2x+1）²（e^2x+1+e^-2x-1），則滿足f（x）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，-1）
• C． （-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²（e^x+e^-x），由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得|x|＞|2x+1|，最后求解絕對(duì)值的不等式得答案．

解答 解：設(shè)g（x）=x²（e^x+e^-x），則由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），
∵g（-x）=g（x），∴g（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）=2x（e^x+e^-x）+x²（e^x-e^-x）≥0，
∴函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則由g（x）＞g（2x+1），得|x|＞|2x+1|，
解得：-1$＜x＜-\frac{1}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查絕對(duì)值不等式的解法，是中檔題．