Question

10．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x}^{2}，0≤x＜1}\\{-{2}^{1-|x-\frac{3}{2}|}，1≤x＜2}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=（2x-x²）e^x+m，若?x₁∈[-4，-2]，?x₂∈[-1，2]，使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，$\frac{3}{e}$+2]
• C． [$\frac{3}{e}$+2，+∞）
• D． （-∞，$\frac{3}{e}$-2]

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即為f（x）在[-4，-2]的最小值，運(yùn)用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的最小值；對(duì)g（x），求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，最值，可得g（x）的最小值，由題意可得f（x）_min≥g（x）_min，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，
可得f（x）在[0，2]的最小值即為f（x）在[-4，-2]的最小值，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$-2x²＞f（1）=$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x-\frac{1}{2}}，1≤x＜\frac{3}{2}}\\{-{2}^{\frac{5}{2}-x}，\frac{3}{2}≤x＜2}\end{array}\right.$，
f（x）在[1，$\frac{3}{2}$）遞減，在[$\frac{3}{2}$，2）遞增，
可得f（x）在x=$\frac{3}{2}$處取得最小值，且為-2；
由-2＜-$\frac{3}{2}$，可得f（x）在[0，2]的最小值為-2；
對(duì)于g（x）=（2x-x²）e^x+m，g′（x）=（2-x²）e^x，
當(dāng)x∈[-1，$\sqrt{2}$]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)x∈[$\sqrt{2}$，2]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得x=$\sqrt{2}$處g（x）取得極大值，也為最大值；
g（-1）=-3e^-1+m＜g（2）=m，可得g（x）的最小值為g（-1）．
由題意可得f（x）_min≥g（x）_min，
即為-2≥-3e^-1+m，即m≤$\frac{3}{e}$-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查周期性和單調(diào)性的運(yùn)用，注意運(yùn)用最大值、最小值來(lái)解決恒成立和存在性問題，屬于中檔題．