Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為橢圓在y軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，若2b，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，2a成等差數(shù)列，且△PF₁F₂的面積為12，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 由2b，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，2a成等差數(shù)列得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，再由△PF₁F₂的面積為12得到另一方程，結(jié)合隱含條件求得a，b的值得答案．

解答 解：由題意知，2a+2b=2|F₁F₂|=4c，
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•b=bc=12$，
∴a=2c-b，又a²=b²+c²，
∴（2c-b）²=b²+c²，解得：c=4．
∴b=3，a=5．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．