Question

14．設f（x）=ax²+2x+1-lnx，a∈R．
（1）當a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）是否存在極值點；若存在，求出該極值點，若不存在，說明理由；
（2）求f（x）有兩個極值點的充要條件；
（3）若f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當a=-$\frac{1}{2}$時的函數(shù)的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求出導數(shù)，令h（x）=2ax²+2x-1，f（x）有兩個極值點的充要條件即為h（x）=0有兩個不相等的正根，運用判別式大于0和韋達定理，解不等式即可得到a的范圍；
（3）求出導數(shù)，令h（x）=2ax²+2x-1，討論a=0，a＞0，a＜0，通過對稱軸和二次函數(shù)的圖象，結(jié)合導數(shù)的符號，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=ax²+2x+1-lnx的導數(shù)為f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
當a=-$\frac{1}{2}$時，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
當x＞0時，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞減，
則有f（x）不存在極值點；
（2）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
f（x）有兩個極值點的充要條件即為h（x）=0有兩個不相等的正根，
則有a≠0，判別式4+8a＞0，且-$\frac{1}{a}$＞0，-$\frac{1}{2a}$＞0，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
（3）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
當a=0時，h（x）=2x-1，當x＞$\frac{1}{2}$，f（x）遞增，0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）遞減，
不合題意；
當a＞0，g（x）的對稱軸x=-$\frac{1}{2a}$＜0，g（x）在（0，+∞）遞增，g（0）=-1＜0，
即有g（x）在x＞0上有正有負，f（x）有增有減，不合題意；
當a＜0時，g（x）的對稱軸x=-$\frac{1}{2a}$＞0，g（0）=-1＜0，
由題意可得g（x）只需滿足判別式4+8a≤0即可．
解得a≤-$\frac{1}{2}$．
綜上可得a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．