Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-（b+2）x+c存在b∈R，使得任意x∈[0，c]時(shí)，2-2x≤f（x）≤6-2x恒成立，求c的最大值．

Answer 1

分析 令g（x）=x²-bx+c，即有原不等式即為當(dāng)x∈[0，c]時(shí)，2≤g（x）≤6恒成立．根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的最值，注意對(duì)b討論，①若b≤0，則$\frac{2}$≤1，②若0＜$\frac{2}$＜$\frac{c}{2}$，即0＜b＜c，③若0＜$\frac{2}$=$\frac{c}{2}$，即0＜b=c，④若0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{2}$＜c，即0＜c＜b＜2c，⑤若$\frac{2}$≥c，即b≥2c．運(yùn)用單調(diào)性即可求得最值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-（b+2）x+c，
當(dāng)x∈[0，c]時(shí)，2-2x≤f（x）≤6-2x恒成立，
即為2≤x²-bx+c≤6恒成立，
∴c＞0，
令g（x）=x²-bx+c，即有當(dāng)x∈[0，c]時(shí)，2≤g（x）≤6恒成立．
①若b≤0，則$\frac{2}$≤0，此時(shí)g（x）在[0，c]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（0）≥2}\\{g（x）_{max}=g（c）≤6}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{{c}^{2}-bc+c≤6}\end{array}\right.$，
由c²-bc+c≤6得b≥c-$\frac{6}{c}$+1≥2-$\frac{6}{2}$+1=0，
∴b=0，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{{c}^{2}+c≤6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=2}\end{array}\right.$．
②若0＜$\frac{2}$＜$\frac{c}{2}$，即0＜b＜c，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（c）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{^{2}}{4}≥2}\\{{c}^{2}-bc+c≤6}\\{0＜b＜c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{^{2}}{4}+2}\\{b≥c-\frac{6}{c}+1}\\{0＜b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{c-\frac{6}{c}+1＜c}\end{array}\right.$，
∴2＜c＜6，
又c-$\frac{^{2}}{4}$≥2，則b≤2$\sqrt{c-2}$，
∴c-$\frac{6}{c}$+1≤2$\sqrt{c-2}$，
令h（x）=x-$\frac{6}{x}$+1，r（x）=2$\sqrt{x-2}$，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，
且h（x）與r（x）均在（2，6）上單調(diào)遞增，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，h（x）的圖象在r（x）圖象的下方，即此時(shí)h（x）＜r（x），
∴不等式c-$\frac{6}{c}$+1≤2$\sqrt{c-2}$的解為2＜c≤3，
當(dāng)c=3時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{^{2}}{4}≥2}\\{{3}^{2}-3b+3≤6}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤2}\\{b≥2}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，解得b=2．
③若0＜$\frac{2}$=$\frac{c}{2}$，即0＜b=c，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{^{2}}{4}≥2}\\{c≤6}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，此時(shí)不等式無(wú)解．
④若0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{2}$＜c，即0＜c＜b＜2c，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{^{2}}{4}≥2}\\{c≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{^{2}}{4}+2}\\{c≤6}\\{c＜b}\end{array}\right.$，∴$\frac{^{2}}{4}$+2＜b，b²-4b+8＜0此時(shí)不等式無(wú)解．
⑤若$\frac{2}$≥c，即b≥2c，此時(shí)f（x）在[0，c]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（c）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}-bc+c≥2}\\{c≤6}\\{b≥2c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤c-\frac{2}{c}+1}\\{c≤6}\\{b≥2c}\end{array}\right.$，
∴2c≤c-$\frac{2}{c}$+1，
即c+$\frac{2}{c}$≤1，而當(dāng)c＞0時(shí)，c+$\frac{2}{c}$≥2$\sqrt{2}$＞1，∴此時(shí)不等式無(wú)解．
綜上c的取值范圍是[2，3]，c的最大值是3，此時(shí)b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度不�。�