Question

15．已知拋物線y²=2px（p＞0）上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B及一個(gè)定點(diǎn)M（x₀，y₀），F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列．求證：線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)Q（x₀+p，0）．

Answer 1

分析 先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），2|MF|=|PE|+|QF|，得出2x₀=x₁+x₂，下面對(duì)x₁與x₂關(guān)系進(jìn)行分類討論：①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，②當(dāng)x₁=x₂時(shí)，分別求得線段PQ的中垂線方程，看它是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在拋物線y²=2px（p＞0）上，
故y₁²=2px₁，…①，
y₂²=2px₂，…②，
①-②得：
y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，線段AB的垂直平分線為x軸，必過定點(diǎn)Q（x₀+p，0）．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，直線AB的斜率k=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$≠0，
則直線AB的垂直平方線的斜率k=$-\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2p}$，
故AB的垂直平方線方程為：y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$-\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2p}$（x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
當(dāng)y=0時(shí)，x=p+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
又∵|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列．即有2|MF|=|AF|+|BF|，
由拋物線的定義可得，2（x₀+$\frac{p}{2}$）=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）
即有2x₀=x₁+x₂，
則有x=p+x₀，即有定點(diǎn)（x₀+p，0）．
故線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)Q（x₀+p，0）．

點(diǎn)評(píng) 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等，突出考查了分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高．