Question

16．定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，則不等式f（x+2）-f（2x+1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由函數(shù)是偶函數(shù)可得f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，把f（x+2）＞f（2x+1）轉(zhuǎn)化為f（|x+2|）＞f（|2x+1|），然后利用單調(diào)性得到|x+2|＜|2x+1|，兩邊平方后求得答案．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且在（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
由f（x+2）-f（2x+1）＞0，得f（x+2）＞f（2x+1），
即f（|x+2|）＞f（|2x+1|），
∴|x+2|＜|2x+1|，
兩邊平方得：x²+4x+4＜4x²+4x+1，
即3x²＞3，得x²＞1，∴x＜-1或x＞1．
∴不等式f（x+2）-f（2x+1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了不等式的解法，是中檔題．