Question

1．表達式x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{a}$=$（x，\sqrt{1-{x}^{2}}）$，$\overrightarrow$=$（\sqrt{1-{y}^{2}}，y）$（x，y∈[0，1]），利用$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，即可得出．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$=$（x，\sqrt{1-{x}^{2}}）$，$\overrightarrow$=$（\sqrt{1-{y}^{2}}，y）$（x，y∈[0，1]）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=$\sqrt{{x}^{2}+（1-{x}^{2}）}$$\sqrt{1-{y}^{2}+{y}^{2}}$=1，當且僅當$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$且同向時取等號．
∴x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是1．
故選：B．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、柯西不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．