Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差數(shù)列，且a₂+a₅=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，當(dāng)q≠1時(shí)，由S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差數(shù)列，且a₂+a₅=4．可得2（S₉+2）=S₆+2+S₃+2，a1(q+q4)=4．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡解出即可．當(dāng)q=1時(shí)，不滿足條件，舍去．
（II）（II）由（I）可得an=a2qn-2=（-1）^n-2•2

11-n

3

．可得b_n=log₂|a_n|=

11-n 3 ，1≤n≤11 n-11 3 ，n≥12

．，對n分類討論；當(dāng)n≤11時(shí)，當(dāng)n≥12時(shí)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出，

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
當(dāng)q≠1時(shí)，∵S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差數(shù)列，且a₂+a₅=4．
∴2（S₉+2）=S₆+2+S₃+2，a1(q+q4)=4．
∴2×

a1(q9-1)

q-1

=

a1(q6-1)

q-1

+

a1(q3-1)

q-1

，
化為（2q³+1）（q³-1）=0．
解得q3=-

1

2

．a(chǎn)₂=8．
當(dāng)q=1時(shí)，不滿足條件，舍去．
∴q=-

3	1 2

．
（II）由（I）可得an=a2qn-2=（-1）^n-2•2

11-n

3

．
b_n=log₂|a_n|=

11-n 3 ，1≤n≤11 n-11 3 ，n≥12

．，
當(dāng)n≤11時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

11( 10 3 + 11-n 3 )

2

=

-n2+21n

6

．
當(dāng)n≥12時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=T₁₁+

12-11

3

+

13-11

3

+…+

n-11

3

．
=

21×11-112

6

+

1

3

×[

(n-11)(12+n)

2

-11×(n-11)]
=

n2-21n+220

6

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論思想方法，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．