Question

【題目】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若,當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;

(3)若且,求證: .

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

（2）（3）見解析

【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的最大值；（3）化簡(jiǎn)已知得, 即，然后利用分析法證明原不等式.

試題解析: (1) 的定義域?yàn)?/span>,且,

令,

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2) ,

,

當(dāng)時(shí), ,,

當(dāng)時(shí), ,

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

.

(3) , 即.

由(1)知 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,

則

要證,即證,即證,即證,

即證,由于,即證.

令

恒成立

在遞增, 在恒成立,

原不等式成立.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對(duì)求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小）.