Question

【題目】如圖，在四棱錐 A﹣BCDE中，側(cè)面△ADE為等邊三角形，底面 BCDE是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M為D E的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，且AC=4．
（1）求證：平面 ADE⊥平面BCD；
（2）求證：FB∥平面ADE；
（3）求四棱錐A﹣BCDE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AD E是等邊三角形，M是D E的中點(diǎn)，

∴AM⊥DE， ，

∵在△DMC中，DM=1，∠CDM=60°，CD=4，

∴MC2=42+12﹣2×4×1×cos60°=13，

∴ ，

∵在△AMC中，A M2+MC2=3+13=16=AC2，

∴AM⊥MC，

∵M(jìn)C∩DE=M，MC平面BCD，DE平面BCD，

∴AM⊥平面BCD，

∵AM平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCD

（2）證明：分別取AD，DC的中點(diǎn)G，N，連接FG，GE，F(xiàn)N，NB．

∵AC=DC，F(xiàn)，NF分別為AC，DC的中點(diǎn)，

∴ ，∴ ，

∴FN DN，

∴四邊形DNFG是平行四邊形，

∴ ，

∵點(diǎn)N是DC的中點(diǎn)，

∴BC=NC，又∠BCN=60°，

∴△BCN是等邊三角形，

∴∠CNB=∠CDE=60°，

∴ ，

∴四邊形EBND是平行四邊形，

∴ ，

∴ ，

又平面ADE，GE平面ADE，

∴FB∥平面ADE

（3）解：過點(diǎn)B作BH⊥NC于點(diǎn)H，則BH= = = ．

由（2）可知：四邊形EBND是平行四邊形，

∴EB=ND=2，

∴底面等腰梯形BCDE的面積S四邊形EBCD= =3 ，

∴四棱錐A﹣BCDE的體積V= = =3．

【解析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得AM⊥DE，在△DMC中，利用余弦定理可得MC2=13，利用勾股定理的逆定理可得：AM⊥MC，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明．（2）分別取AD，DC的中點(diǎn)G，N，連接FG，GE，F(xiàn)N，NB．利用三角形中位線定理與平行四邊形的性質(zhì)可得： ，可得△BCN是等邊三角形，可得四邊形EBND是平行四邊形， ， ，可得FB∥平面ADE；（3）過點(diǎn)B作BH⊥NC于點(diǎn)H，可得BH．又EB=ND=2，利用四棱錐A﹣BCDE的體積V= ，即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)面垂直．