Question

16．已知曲線C₁：y=ax²上點P處的切線為l₁，曲線C₂：y=bx³上點A（1，b）處的切線為l₂，且l₁⊥l₂，垂足M（2，2），求a、b的值．

Answer 1

分析 求出直線l₁的方程，直線l₂的方程，利用交點坐標，聯(lián)立方程，求出a，t，b的方程組，求解即可．

解答 解：設P（t，at²），y′=ax²=2ax，則l₁斜率k₁=2at，
∴l(xiāng)₁：y-at²=2at（x-t）．
y=bx³，可得y′=3bx²．
l₂斜率k₂=3bx²|_x=1=3b，
∴l(xiāng)₂：y-b=3b（x-1）…（3分）
∵l₁與l₂交于點M（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2-a{t^2}=2at（2-t）\\ 2-b=3b（2-1）\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a{t^2}-4at+2=0\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$①…（5分）
又l₁⊥l₂
∴k₁•k₂=-1，∴at=-$\frac{1}{3}$②…（7分）
由①②得t=10，a=-$\frac{1}{30}$，b=$\frac{1}{2}$…（8分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)曲線的切線方程，拋物線與直線的位置關系的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．