Question

6．已知函數(shù)f（x）=9^x-a•3^x+1+a²（x∈[0，1]，a∈R），記f（x）的最大值為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若對于任意t∈[-2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥-m²+tm恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令u=3^x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u²-3au+a²，分類討論即可求出，
（Ⅱ）先求出g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，再根據(jù)題意可得-m²+tm≤-$\frac{5}{4}$，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答 解：（Ⅰ）令u=3^x∈[1，3]，則f（x）=h（u）=u²-3au+a²．
當(dāng)$\frac{3a}{2}$≤2即a≤$\frac{4}{3}$時，g（a）=h（u）_min=h（3）=a²-9a+9；
當(dāng)$\frac{3a}{2}$＞2即a＞$\frac{4}{3}$時，g（a）=h（u）_min=h（1）=a²-3a+1；
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-9a+9，a≤\frac{4}{3}}\\{{a}^{2}-3a+1，a＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
（Ⅱ）當(dāng)a≤$\frac{4}{3}$時，g（a）=a²-9a+9，g（a）_min=g（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{11}{9}$；
當(dāng)a$＞\frac{4}{3}$時，g（a）=a²-3a+1，g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
因此g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
對于任意任意a∈R，不等式g（a）≥-m²+tm恒成立等價于-m²+tm≤-$\frac{5}{4}$．
令h（t）=mt-m²，由于h（t）是關(guān)于t的一次函數(shù)，故對于任意t∈[-2，2]都有h（t）≤-$\frac{5}{4}$等價于$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≤-\frac{5}{4}}\\{h（2）≤-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+8m-5≥0}\\{4{m}^{2}-8m-5≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-$\frac{5}{2}$或m≥$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題