Question

8．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）對x∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$-\frac{23}{27}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可得出f（x³-x²+a）≥f（1），而f（x）為偶函數(shù)，從而得出f（|x³-x²+a|）≥f（1），根據(jù)單調(diào)性即可得出|x³-x²+a|≤1，進(jìn)而得出-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1，而x∈[0，1]．可設(shè)g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷g（x），h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出g（x）的最小值，h（x）的最大值，從而得出a的取值范圍．

解答 解：f（x）是R上的偶函數(shù)；
∴f（-x³+x²-a）=f（x³-x²+a）；
∴由f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）得，2f（x³-x²+a）≥2f（1）；
∴f（x³-x²+a）≥f（1）；
∴f（|x³-x²+a|）≥f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上遞減；
∴|x³-x²+a|≤1；
∴-1≤x³-x²+a≤1；
∴-x³+x²-1≤a≤-x³+x²+1對x∈[0，1]恒成立；
設(shè)g（x）=-x³+x²+1，h（x）=-x³+x²-1，則$g′（x）=h′（x）=-3x（x-\frac{2}{3}）$；
∴$x∈[0，\frac{2}{3}]$時(shí)，g（x），h（x）都單調(diào)遞增，x$∈（\frac{2}{3}，1]$時(shí)，g（x），h（x）都單調(diào)遞減；
∴h（x）的最大值為$f（\frac{2}{3}）=-\frac{23}{27}$，g（x）的最小值為f（0）=1；
∴$-\frac{23}{27}≤a≤1$；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[-\frac{23}{27}，1]$．
故答案為：$[-\frac{23}{27}，1]$．

點(diǎn)評 考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義，絕對值不等式的解法，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，以及恒成立問題的處理方法．