Question

3．P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為兩焦點(diǎn)，$|{P{F_1}}|=13，|{P{F_2}}|=15，tan∠P{F_1}{F_2}=\frac{12}{5}$，則橢圓C的離心率e=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，由已知求出cos∠PF₁F₂，再由余弦定理求得c得答案．

解答 解：如圖，
由tan$∠P{F}_{1}{F}_{2}=\frac{12}{5}$，得∠PF₁F₂為銳角，
且$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{cos∠P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{12}{5}$，聯(lián)立$si{n}^{2}∠P{F}_{1}F2+co{s}^{2}∠P{F}_{1}{F}_{2}=1$，
解得：cos∠PF₁F₂=$\frac{5}{13}$，
在△PF₁F₂中，有$|P{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+4{c}^{2}-4c|P{F}_{1}|cos∠P{F}_{1}{F}_{2}$，
得$1{5}^{2}=1{3}^{2}+4{c}^{2}-4×13×\frac{5}{13}c$，解得c=-2（舍）或c=7．
又2a=|PF₁|+|PF₂|=13+15=28，得a=14，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．