Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}為等差數(shù)列，則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 令b_n=nS_n+（n+2）a_n，由已知得b₁=4，b₂=8，從而b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n，進(jìn)一步得到{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：設(shè)b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a₂=1，
∴b₁=4，b₂=8，
∴b_n=b₁+（n-1）×（8-4）=4n，
即b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-S_n-1+（1+$\frac{2}{n}$）a_n-（1+$\frac{2}{n-1}$）a_n-1=0
∴$\frac{2（n+1）}{n}{a}_{n}$=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
即2•$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是注意構(gòu)造法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．