Question

19．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²-2S_na_n+1=0．
（1）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞2（S_n+1-1）．

Answer 1

分析 （1）由a_n²-2S_na_n+1=0，可得當(dāng)n=1時，${a}_{1}^{2}-2{a}_{1}^{2}$+1=0，a₁＞0，解得a₁．當(dāng)n≥2時，$（{S}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}$-2S_n（S_n-S_n-1）+1=0，化為${S}_{n}^{2}$-${S}_{n-1}^{2}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$．利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a_n²-2S_na_n+1=0，
∴當(dāng)n=1時，${a}_{1}^{2}-2{a}_{1}^{2}$+1=0，a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，$（{S}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}$-2S_n（S_n-S_n-1）+1=0，
化為${S}_{n}^{2}$-${S}_{n-1}^{2}$=1，
∴數(shù)列$\{{S}_{n}^{2}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴${S}_{n}^{2}$=1+（n-1）=n，S_n＞0．
∴S_n=$\sqrt{n}$．
（2）證明：∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞$2[（\sqrt{2}-1）+（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）]$=$2（\sqrt{n+1}-1）$=2（S_n+1-1）．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞2（S_n+1-1）．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．