Question

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；

（Ⅲ）過橢圓C“伴隨圓”上一動點Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a,b,c的關(guān)系即可得出橢圓方程，進(jìn)而得到“伴隨圓”的方程；

（2）利用點到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質(zhì)即可得出；

（3）利用（2）的結(jié)論及點Q的坐標(biāo)滿足“伴隨圓”的方程即可證明.

試題解析：（1）由題意得：，半焦距，則，所以橢圓C的方程為：，

“伴隨圓”方程為.

（2）設(shè)過點P且與橢圓有一個交點的直線為：，則

，整理得，所以，化簡整理得 ①

又因為直線截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，則有化簡得

②

聯(lián)立①②解得，，，所以.

（3）當(dāng)直線都有斜率時，其中，設(shè)經(jīng)過點且與橢圓只有一個公共點的直線為，由，消去y得到，即

，所以，化簡整理得，因為，所以有，設(shè)當(dāng)直線的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，所以滿足方程，因而，即直線的斜率之積為定值-1.

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題.