Question

直線y=k（x-a）（a＞0）與拋物線y²=2px相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)（a，0）為焦點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，0），則（　�。�

A．∠APF＜∠BPF

B．∠APF＞∠BPF

C．∠APF=∠BPF

D．以上均有可能

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，tan∠APF=kAP=

y1

x1+a

，tan∠BPF=-kBP=-

y2

x2+a

，聯(lián)立直線方程與拋物線方程消掉y得x的二次方程，通過(guò)作差由韋達(dá)定理可得tan∠APF-tan∠BPF=0，從而tan∠APF=tan∠BPF，再由兩角的范圍可得∠APF=∠BPF．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
由

y=k(x-a) y2=2px

得k²x²-（2ak²+2p）x+k²a²=0（k≠0），
則 x1+x2=

2ak2+2p

k2

，x1x2=a2，
tan∠APF=kAP=

y1

x1+a

，tan∠BPF=-kBP=-

y2

x2+a

，
 因?yàn)閠an∠APF-tan∠BPF=

y1

x1+a

+

y2

x2+a

=

k(x1-a)

x1+a

+

k(x2-a)

x2+a

=

k(x1-a)(x2+a)+k(x2-a)(x1+a)

(x1+a)(x2+a)

=

k(2x1x2-2a2)

(x1+a)(x +a)

=

k(2a2-2a2)

(x1+a)(x2+a)

=0，
所以tan∠APF=tan∠BPF，
又∠APF與∠BPF均為銳角，
所以∠APF=∠BPF，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解決本題的關(guān)鍵是建立兩角正切值與直線斜率的關(guān)系，通過(guò)作差可利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題．