Question

2．設(shè)f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）≤3；
（2）若不等式m|x|≤f（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{f（x）}{|x|}$，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-（2x-1）-（x+1）=-3x≤3，
解得x≥-1，故此情況無解；
當(dāng)$-1≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-（2x-1）+（x+1）=-x+2≤3，
解得x≥-1，故$-1≤x≤\frac{1}{2}$；
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=（2x-1）+（x+1）=3x≤3，
解得x≤1，故$\frac{1}{2}＜x≤1$；
綜上所述，滿足f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤1}．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，可知對(duì)于?m∈R，不等式均成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，由已知可得：
$m≤\frac{f（x）}{|x|}=\frac{|2x-1|+|x+1|}{|x|}=|2-\frac{1}{x}|+|1+\frac{1}{x}|≤|（2-\frac{1}{x}）+（1+\frac{1}{x}）|=3$，
當(dāng)x≤-1或$x≥\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立，
綜上所述，使得不等式恒成立的m的取值范圍為m≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)，以及分類討論思想，是一道中檔題．