Question

12．設(shè)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x$為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）上的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)滿足f（-x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的任意x都成立得到關(guān)于實數(shù)a的恒等式，據(jù)此求得實數(shù)a的值即可；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義即可確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x$為奇函數(shù)，∴f（-x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的任意x都成立，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+ax}{-x-1}-x+{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x=0$，∴$\frac{1+ax}{-x-1}•\frac{1-ax}{x-1}=1$，解得a=-1或a=1（舍去）
（2）由（1）知：∵$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}+x$，設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），
設(shè)x₁＜x₂，則$\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}-\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}＜{log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}$，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}+{x_1}＜{log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}+{x_2}$，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈（1，+∞）上是增函數(shù)

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．