Question

4．已知兩點A（-2，0），B（0，1），點P是圓（x-1）²+y²=1上任意一點，則△PAB面積的最大值是$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出BA的直線方程和|AB|的長度，點P到直線AB的距離最大值時，可得△PAB面積的最大值．

解答 解：兩點A（-2，0），B（0，1），
∴BA的直線方程為：x-2y+2=0，
|AB|=$\sqrt{5}$．
點P到直線AB的距離最大值為圓心到直線的距離d+r，圓（x-1）²+y²=1，其圓心為（1，0）
d=$\frac{|1+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴點P到直線AB的距離最大值為：$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$．
△PAB面積的最大值S=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷，點P到直線AB的距離最大值時，可得△PAB面積的最大值是解決本題的關鍵．