Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-a）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤1的解集不是空集，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-4）．根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，構(gòu)造不等式|x+1|+|x-2|-4＞0，進(jìn)而利用零點(diǎn)分段法解不等式，可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤1的解集不是空集，則0＜|x+1|+|x-2|-a≤2的解集不是空集，即a＜|x+1|+|x-2|≤2+a的解集不是空集，利用絕對值的性質(zhì)，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-4）．
若使函數(shù)的解析式有意義，自變量x須滿足：|x+1|+|x-2|-4＞0，…①
當(dāng)x＜-1時(shí)，①可化為：-2x-3＞0，解得x＜-

3

2

，
∴x＜-

3

2

；
當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，①可化為：-1＞0，恒不成立，
∴不存在滿足條件的x值；
當(dāng)x＞2時(shí)，①可化為：2x-5＞0，解得x＞

5

2

，
∴x＞

5

2

，
綜上所述，x＜-

3

2

，或x＞

5

2

，
故當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-

3

2

）∪（

5

2

，+∞）；
（2）若不等式f（x）≤1的解集不是空集，
則0＜|x+1|+|x-2|-a≤2的解集不是空集，
即a＜|x+1|+|x-2|≤2+a的解集不是空集，
∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|（x+1）+（2-x）|=3，
故3≤2+a，
解得：a≥1，
即a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對值函數(shù)，難度中檔．