Question

已知函數f（x）=ax³+bx²在點（2，f（2））處的切線方程為6x+3y-10=0，且對任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）求實數k的最小值；
（3）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln（n+1）+2（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）先求導數，由切線的斜率，得到方程，同時求出切點，又得到方程，解出a，b即可；
（2）寫出f（x）的解析式，求出導數，將條件轉化為-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立，設g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，只需對于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），設h（x）=2x²+x+k-1，討論判別式△=1-8（k-1）≤0，△=1-8（k-1）＞0，結合k-1≥0，分別求出k的取值范圍，再求并集；
（3）令k=1，有-x²+x≤ln（x+1），即x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，令x=

1

n

，
得

1

n

≤

1

n2

+ln（

1

n

+1）=

1

n2

+ln（n+1）-lnn，再由累加法，和放縮法，主要是運用

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n＞1）
即可得證．

解答： （1）解：f′（x）=3ax²+2bx，f′（2）=-2，∴12a+4b=-2①
將x=2代入切線方程得y=-

2

3

，∴8a+4b=-

2

3

②
①②聯(lián)立，解得a=-

1

3

，b=

1

2

；
（2）解：由（1）得，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²，f′（x）=-x²+x，
∴-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
設g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需對于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），
g′（x）=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x-1+k

x+1

，x∈[0，+∞），
設h（x）=2x²+x+k-1，
1）當△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

時，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）單調遞增，∴g（x）≥g（0）；
2）當△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

時，設x₁，x₂是方程2x²+x+k-1=0的兩根且x₁＜x₂
由x₁+x₂=-

1

2

，可知x₁＜0，
分析題意可知當x₂≤0時對任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；
∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜

9

8

，
綜上分析，實數k的最小值為1．
（3）證明：令k=1，有-x²+x≤ln（x+1），
即x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，
令x=

1

n

，得

1

n

≤

1

n2

+ln（

1

n

+1）=

1

n2

+ln（n+1）-lnn，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）
=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+ln（n+1）＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

+ln（n+1）
=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+ln（n+1）=2-

1

n

+ln（n+1）
＜ln（n+1）+2．
即原不等式得證．

點評：本題綜合考查了導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、極值最值、利用已經證明的結論證明數列不等式等基礎知識與基本技能，考查了分類討論思想方法、推理能力和計算能力．