Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx的極大值點為x=-1．
（1）用a來表示b，并求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）的最小值為-

2

3

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在極值點x=-1出的值為0，得到a，b的關(guān)系；利用導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理求出另一個極值點，據(jù)x=-1是極大值得到兩個極值點的大小關(guān)系，列出不等式求出a的范圍．
（2）據(jù)（1）得到函數(shù)的單調(diào)性，通過極值點1-2a與區(qū)間端點位置關(guān)系的討論，求出函數(shù)的最小值，列出方程求出a的值．

解答： 解：（1）f′（x₀）=x²+2ax+b，由題設(shè)知f′（-1）=0
∴b=2a-1
韋達(dá)定理得另一極值點x=-b=1-2a，因為x=-1為極大值點
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（2）f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，1-2a）遞減，在（1-2a，+∞）上遞增，
故當(dāng)x∈[-1，2]時，分情況如下：
①1-2a≥2，即a≤-

1

2

時，f（x）在x∈[-1，2]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（2）=8a+

2

3

=-

2

3

，
解得a=-

1

6

，不合條件，舍去
②1-2a＜2，即-

1

2

＜a＜1時，
∴f（x）_min=f（1-2a）=

1

3

(1-2a)2(a-2)=-

2

3

，
化簡得a（2a-3）²=0，a=0或a=

3

2

，取a=0
綜上，故所求的a=0．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．