Question

橢圓與直線x+y=1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=2

2

，直線OC的斜率為

2

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，將橢圓方程與直線x+y=1聯(lián)解消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式，結(jié)合題意建立m、n的關(guān)系式，化簡得m-mn+n=（m+n）²．再由點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，列式并化簡得到

m

n

=

2

2

，聯(lián)解得到m、n的值，即可得到所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程是：mx²+ny²=1，（m、n為不相等的正數(shù)）．
由

mx2+ny2=1 x+y=1

，消去y得：（m+n）x²-2nx+n-1=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

2n

m+n

，x₁x₂=

n-1

m+n

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x 1x2

=

m-mn+n

m+n

∵|AB|=2

2

，直線OC的斜率k=

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 • m-mn+n

m+n

=2

2

，
化簡得m-mn+n=（m+n）²…①，
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴設(shè)C（λ，μ），可得λ =

1

2

(x1+x2)=

n

m+n

，μ =1-xC=

m

m+n

因此，OC的斜率kOC=

μ

λ

=

m

n

=

2

2

…②
聯(lián)解①②，可得m=

1

3

，n=

2

3

，
∴所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

1

3

x²+

2

3

y²=1，化簡得

x2

3

+

y2

3 2 2

=1．

點(diǎn)評：本題著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．